已知函数.(Ⅰ)当时,函数取得极大值,求实数的值;(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内存在导数,则存在,使得. 试用这个结论证明:若函数(其中),则对任意,都有;(Ⅲ
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已知函数.(Ⅰ)当时,函数取得极大值,求实数的值;(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内存在导数,则存在,使得. 试用这个结论证明:若函数(其中),则对任意,都有;(Ⅲ
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
.
(Ⅰ)当
时,函数
取得极大值,求实数
的值;
(Ⅱ)已知结论:若函数
在区间
内存在导数,则存在
,使得
. 试用这个结论证明:若函数
(其中
),则对任意
,都有
;
(Ⅲ)已知正数
满足
,求证:对任意的实数
,若
时,都
有
.
答案
(Ⅰ)
;(2)详见解析;(3)详见解析.
解析
试题分析:(Ⅰ)利用导数法判断函数
的单调性,根据函数在极值
时有极值求出参数
的值;(Ⅱ)构造新函数再利用导数法求解;(Ⅲ)由已知条件得出
,再利用第(Ⅱ)问的结论对任意
,都有
求解.
试题解析:(Ⅰ)由题设,函数的定义域为
,且
所以
,得
,此时.
当
时,
,函数
在区间
上单调递增;
当
时,
,函数
在区间
上单调递减.
函数
在
处取得极大值,故
4分
(Ⅱ)令
,
则
.
因为函数
在区间
上可导,则根据结论可知:存在
使得
7分
又
,
当
时,
,从而
单调递增,
;
当
时,
,从而
单调递减,
;
故对任意
,都有
. 9分
(Ⅲ)
,且
,
,
同理
, 12分
由(Ⅱ)知对任意
,都有
,从而
. 14分
举一反三
已知
,
为
的导函数,则
得图像是( )
题型:不详
难度:
|
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函数
满足
,
,则不等式
的解集为______.
题型:不详
难度:
|
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函数
,则函数
在区间
上的值域是_____________.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,
,
(1)若
,求函数
的极值;
(2)若函数
在
上单调递减,求实数
的取值范围;
(3)在函数
的图象上是否存在不同的两点
,使线段
的中点的横坐标
与直线
的斜率
之间满足
?若存在,求出
;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,
(Ⅰ)当a=1时,若曲线y=f(x)在点M (x
0
,f(x
0
))处的切线与曲线y=g(x)在点P (x
0
, g(x
0
))处的切线平行,求实数x
0
的值;
(II)若
(0,e],都有f(x)≥g(x)+
,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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