已知函数(Ⅰ)设,求的单调区间;(Ⅱ) 设,且对于任意,.试比较与的大小.
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已知函数(Ⅰ)设,求的单调区间;(Ⅱ) 设,且对于任意,.试比较与的大小.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
(Ⅰ)设
,求
的单调区间;
(Ⅱ) 设
,且对于任意
,
.试比较
与
的大小.
答案
(Ⅰ) 单调递减区间是
,单调递增区间是
(Ⅱ)
解析
(Ⅰ)由
得
(1)当
时,
(i)若
,当
时,
恒成立,
所以函数
的单调递减区间是
.
(ii)若
,当
时,
,函数
单调递减,
当
时,
,函数
单调递增.
所以
的单调递减区间是
,单调递增区间是
(2)当
时,令
得
,
由
得
显然
当
时,
,函数
单调递减;
当
时,
,函数
单调递增.
所以函数
的单调递减区间是
,
单调递增区间是
.
(Ⅱ)由题意知函数
在
处取得最小值,
由(I)知
是
的唯一极小值点,
故
,整理得
,
令
则
由
得
当
时,
,
单调递增;
当
时,
,
单调递减.
因此
故
,即
即
【考点定位】本题考查导数法研究函数的单调性和相关函数值的大小比较,考查分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力.函数
的单调区间判断必然通过导数方法来解决,伴随而来的是关于
的分类讨论.比较
与
的大小时要根据已知条件和第一问的知识储备,构造新的函数利用单调性直接运算函数值得到结论.本题具备导数研究函数单调性的特征,必然按照程序化运行,即求导、关于参数分类讨论、确定单调区间等步骤进行.而第二问则是在第一问的基础上进一步挖掘解题素材,如隐含条件的发现、新函数的构造等,都为解决问题提供了有力支持.
举一反三
设
, 已知函数
(Ⅰ) 证明
在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线
在点
处的切线相互平行, 且
证明
.
题型:不详
难度:
|
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已知
是函数
的两个极值点.
(1)若
,
,求函数
的解析式;
(2)若
,求实数
的最大值;
(3)设函数
,若
,且
,求函数
在
内的最小值.(用
表示)
题型:不详
难度:
|
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设函数
,(
是互不相等的常数),则
等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
(Ⅰ)当
时,判断函数
是否有极值;
(Ⅱ)若
时,
总是区间
上的增函数,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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规定
其中
,
为正整数,且
=1,这是排列数
(
是正整数,
)的一种推广.
(Ⅰ) 求
的值;
(Ⅱ)排列数的两个性质:①
,②
(其中m,n是正整数).是否都能推广到
(
,
是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,则说明理由;
(Ⅲ)已知函数
,试讨论函数
的零点个数.
题型:不详
难度:
|
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