函数(1)若,证明;(2)若不等式时和都恒成立,求实数的取值范围。

函数(1)若,证明;(2)若不等式时和都恒成立,求实数的取值范围。

题型:不详难度:来源:
函数
(1)若,证明
(2)若不等式都恒成立,求实数的取值范围。
答案
(1)构造函数g(x)="f(x)-" ,利用导数来判定单调性得到证明。
(2)
解析

试题分析:(1)令g(x)="f(x)-" ="ln(x+1)-"
则g(x)=  -∵x>0,
∴g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上是增函数.
故g(x)>g(0)=0,即f(x)>
(2)原不等式等价于x2-f(x2)≤m2-2bm-3.
令h(x)= x2-f(x2)=x2-ln(1+x2),
则h(x)=x-=
令h′(x)=0,得x=0,x=1,x=-1.
∴当x∈[-1,1]时,h(x)max=0,
∴m2-2bm-3≥0.令Q(b)=-2mb+m2-3,
则Q(1)=m2-2m-3≥0, Q(-1)=m2+2m-3≥0
解得m≤-3或m≥3.
点评:本题考查函数的导数和函数思想的应用,本题解题的关键是构造新函数,对于新函数进行求导求最值,再利用函数的思想来解题,这种题目可以出现在高考卷中
举一反三
已知函数
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的极值.
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设函数f(x)=(x _ 1)ex _ kx2(k∈R).
(Ⅰ)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当k∈(1/2,1]时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M.
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已知函数(为非零常数).
(Ⅰ)当时,求函数的最小值; 
(Ⅱ)若恒成立,求的值;
(Ⅲ)对于增区间内的三个实数(其中),
证明:.
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已知函数y=f(x)(x∈(0,2))的图象是如图所示的圆C的一段圆弧.现给出如下命题:

;②;③为减函数;④若,则a+b=2.
其中所有正确命题的序号为    
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已知函数
(1)讨论函数的单调性;
(2)若时,关于的方程有唯一解,求的值;
(3)当时,证明: 对一切,都有成立.
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