已知函数f(x)=alnx+bx,且f(1)=-1,f′(1)=0,⑴求f(x);⑵求f(x)的最大值;⑶若x>0,y>0,证明:lnx+lny≤.

已知函数f(x)=alnx+bx,且f(1)=-1,f′(1)=0,⑴求f(x);⑵求f(x)的最大值;⑶若x>0,y>0,证明:lnx+lny≤.

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=alnxbx,且f(1)=-1,f′(1)=0,
⑴求f(x);
⑵求f(x)的最大值;
⑶若x>0,y>0,证明:lnx+lny.
答案

(1)f(x)=lnxx
(2)最大值为-1
(3)证明见解析。
解析
本题主要考查函数、导数的基本知识、函数性质的处理以及不等式的综合问题,同时考查考生用函数放缩的方法证明不等式的能力.
⑴由b f(1)=-1, f′(1)=ab=0, ∴a=1,∴f(x)=lnxx为所求;……………4分
⑵∵x>0,f′(x)=-1=,
x
0<x<1
x=1
x>1
f′(x)

0

f(x)

极大值

 
f(x)在x=1处取得极大值-1,即所求最大值为-1;……………8分
⑶由⑵得lnxx-1恒成立,
∴lnx+lny成立………12分
举一反三
已知常数都是实数,函数的导函数为
(Ⅰ)设,求函数的解析式;
(Ⅱ)如果方程的两个实数根分别为,并且
问:是否存在正整数,使得?请说明理由.
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已知函数,曲线在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3,又坐标原点到切线l的距离为,若时,有极值.
(I) 求a、b、c的值;
(II) 求在[-3,1]上的最大值和最小值.
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设函数,其中为常数.
(1)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(2)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点;
(3)求证对任意不小于3的正整数,不等式都成立.
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已知f(x)=x3mx2x+2(mR)
如果函数的单调减区间恰为(-,1),求函数f(x)的解析式;
(2)若f(x)的导函数为f "(x),对任意x∈(0,+∞),不等式f "(x)≥2xlnx-1恒成立,求实数m的取值范围.
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                        已知函数
(I)求函数的极值;
(II)若对任意的的取值范围。
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