设函数,其中为常数.(1)当时,判断函数在定义域上的单调性;(2)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点;(3)求证对任意不小于3的正整数,不等式都成立.

设函数,其中为常数.(1)当时,判断函数在定义域上的单调性;(2)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点;(3)求证对任意不小于3的正整数,不等式都成立.

题型:不详难度:来源:
设函数,其中为常数.
(1)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(2)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点;
(3)求证对任意不小于3的正整数,不等式都成立.
答案
(1)函数在定义域上单调递增.
(2)当且仅当有极值点;当时,有唯一最小值点;当时,有一个极大值点和一个极小值点    
(3)证明见解析。
解析
(1)由题意知,的定义域为
     …… 1分
时,,函数在定义域上单调递增.   …… 2分
(2)①由(Ⅰ)得,当时,函数无极值点.
………3分
②当时,有两个不同解,
时,
此时在定义域上的变化情况如下表:










极小值

由此表可知:时,有唯一极小值点,   …… 5分
ii)  当时,0<<1 此时,的变化情况如下表:














极大值

极小值

由此表可知:时,有一个极大值和一个极小值点;综上所述:当且仅当有极值点;当时,有唯一最小值点;当时,有一个极大值点和一个极小值点       …… 8分
(3)由(2)可知当时,函数
此时有唯一极小值点
          …… 9分
                 
…… 11分
令函数 …… 12分
    …… 14分
举一反三
已知f(x)=x3mx2x+2(mR)
如果函数的单调减区间恰为(-,1),求函数f(x)的解析式;
(2)若f(x)的导函数为f "(x),对任意x∈(0,+∞),不等式f "(x)≥2xlnx-1恒成立,求实数m的取值范围.
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                        已知函数
(I)求函数的极值;
(II)若对任意的的取值范围。
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                        设
(I)已知上单调性一致,求a的取值范围;
(II)设,证明不等式
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已知函数
(1)当a=3时,求fx)的零点;
(2)求函数yf (x)在区间[1,2]上的最小值.
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设函数 
(1)
(2)是否存在实数m,使函数恰有四个不同的零点?若存在求出的m范围;若不存在,说明理由。
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