已知对任意正整数n，满足fn+1（x）=fn′（x），且f1（x）=sinx，则f2013（x）=（　　）A．sinxB．-sinxC．cosxD．-cosx

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已知对任意正整数n，满足f_n+1（x）=f_n′（x），且f₁（x）=sinx，则f₂₀₁₃（x）=（　　）

A．sinx

B．-sinx

C．cosx

D．-cosx

答案

由f₁（x）=sinx，得f2(x)=f1′(x)=(sinx)′=cosx．
f3(x)=f2′(x)=(cosx)′=-sinx．
f4(x)=f3′(x)=(-sinx)′=-cosx．
f5(x)=f4′(x)=(-cosx)′=sinx．
…
由上可知，f_n（x）呈周期出现，且4为周期．
由2013=4×503+1
所以f₂₀₁₃（x）=f_4×503+1（x）=f₁（x）=sinx．
故选A．

举一反三

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，若f"（x）g（x）＜f（x）g"（x），且f（x）=a^x•g（x）（a＞0且a≠1）及

f(1)

g(1)

f(-1)

g(-1)

，则a的值为______．

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已知f₁（x）=sinx-cosx，f_n+1（x）是f_n（x）的导函数，即f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N^*，则f₂₀₁₂（x）=（　　）

A．sinx+cosx

B．sinx-cosx

C．-sinx+cosx

D．-sinx-cosx

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已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（2013）-lnx，则f′（2013）=（　　）

A．1

B．-1

C．

2013

D．无法确定

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等于( )

A．

B．2

C．

-2

D．

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曲线y=

在点（1，1）处的切线方程为( )

A．x-y-2="0"

B．x+y-2="0"

C．x+4y-5="0"

D．x-4y-5=0

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已知对任意正整数n，满足fn+1（x）=fn′（x），且f1（x）=sinx，则f2013（x）=（ ）A．sinxB．-sinxC．cosxD．-cosx