设函数f(x)=ex-e-x(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.
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设函数f(x)=ex-e-x (Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2; (Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围. |
答案
(Ⅰ)f(x)的导数f"(x)=ex+e-x. 由于ex+e-x≥2=2,故f"(x)≥2. (当且仅当x=0时,等号成立). (Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax,则g"(x)=f"(x)-a=ex+e-x-a, (ⅰ)若a≤2,当x>0时,g"(x)=ex+e-x-a>2-a≥0, 故g(x)在(0,+∞)上为增函数, 所以,x≥0时,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax. (ⅱ)若a>2,方程g"(x)=0的正根为x1=ln, 此时,若x∈(0,x1),则g"(x)<0,故g(x)在该区间为减函数. 所以,x∈(0,x1)时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax相矛盾. 综上,满足条件的a的取值范围是(-∞,2]. |
举一反三
下列四组函数中,导数相等的是( )A.f(x)=1与f(x)=x | B.f(x)=sinx与f(x)=cosx | C.f(x)=sinx与f(x)=-cosx | D.f(x)=x-1与f(x)=x+2 |
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若f(x)=sin2-cosx,则f′(2)等于( )A.sin2+cos2 | B.cos2 | C.sin2 | D.sin2-cos2 |
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已知函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x(a∈R,a≠0)的导数f′(x)的图象如图所示,则f(1)=( )
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已知函数f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值是( ) |
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