已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.(1)求函数F(x)=f(x)f′(x)+[f(x)]2的最大值和最小正周期;(2)若f(x
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已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.(1)求函数F(x)=f(x)f′(x)+[f(x)]2的最大值和最小正周期;(2)若f(x
题型:台州模拟
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已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.
(1)求函数F(x)=f(x)f′(x)+[f(x)]
2
的最大值和最小正周期;
(2)若f(x)=2f"(x),求
1+
sin
2
x
cos
2
x-sinxcosx
的值.
答案
(1)已知函数f(x)=sinx+cosx,则f′(x)=cosx-sinx.
代入F(x)=f(x)f′(x)+[f(x)]
2
易得
F(x)=cos2x+sin2x+1=
2
sin(2x+
π
4
)+1
当
2x+
π
4
=2kπ+
π
2
⇒x=kπ+
π
8
(k∈Z)
时,
[F(x)
]
max
=
2
+1
最小正周期为
T=
2π
2
=π
(2)由f(x)=2f"(x),易得sinx+cosx=2cosx-2sinx.
解得
tanx=
1
3
∴
1+
sin
2
x
co
x
2
x-sinxcosx
=
2
sin
2
x+
cos
2
x
cos
2
x-sinxcosx
=
2
tan
2
x+1
1-tanx
=
11
6
;
答:(1)函数F(x)的最大值为
2
+1
,最小正周期为π;
(2)
1+
sin
2
x
cos
2
x-sinxcosx
的值为
11
6
.
举一反三
已知函数f(x)的导数为f′(x)=4x
3
-4x,且f(x)的图象过点(0,-5),当函数f(x)取得极大值-5时,x的值应为( )
A.-1
B.0
C.1
D.±1
题型:不详
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|
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设函数f(x)的导函数为f′(x),若
f(x)=
ax
3
-
ax
2
+[
f′(1)
2
-1]x,a∈R
.
(1)a表示f′(1);
(II)若函数f(x)f在R上存在极值,求a的范围.
题型:崇文区二模
难度:
|
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求函数f(x)=
x
2
sin
π
x
(x≠0)
0(x=0)
的导数.
题型:北京
难度:
|
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将函数f(x)=e
x
展开为x的幂级数,并求出收敛区间.(e=2.718为自然对数的底)
题型:河北
难度:
|
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附加题:
(1)求y=xarctgx
2
的导数;
(2)求过点(-1,0)并与曲线
y=
x+1
x+2
相切的直线方程.
题型:不详
难度:
|
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