已知函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0),存在实数x1,x2满足下列条件:①x1<x2;②f′(x1)=f′(x2)=0;③|x1|+|x2|=2(1

已知函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0),存在实数x1,x2满足下列条件:①x1<x2;②f′(x1)=f′(x2)=0;③|x1|+|x2|=2(1

题型:杭州二模难度:来源:
已知函数f(x)=ax3+


b
x2-a2x(a>0)
,存在实数x1,x2满足下列条件:①x1<x2;②f′(x1)=f′(x2)=0;③|x1|+|x2|=2
(1)证明:0<a≤3;(2)求b的取值范围;
(3)若函数h(x)=f′(x)-6a(x-x1),证明:当x1<x<2时|h(x1)|≤12a.
答案
(1)证明:由已知条件②可知,方程f′(x)=3ax2+2


b
x -a2=0 ,(a>0)
有两个根,由韦达定理得,





x1+x2=-
2


b
3a
≤0
x1x2=-
a
3
<0
又x1<x2,可知x1<0,x2>0,再由|x1|+|x2|=2可得,x1≤-1,0<x2≤1,所以x1•x2≤-1,
-
a
3
≤-1,解得0<a≤3,从而命题得证.
(2)由(1)知x2-x1=2,于是(x2-x12=(x2+x12-4x1•x2=
4b
9a2
+
8a
3
=4,整理得b=9a2-6a3,a∈(0,3],
∵b′(a)=18a-18a2,a∈(0,3],令b′(a)=18a-18a2=0,解得a=0或a=1,又b(0)=0,b(1)=3,b(3)=-81
∴-81≤b≤3,由已知可知b≥0,故0≤b≤3.
(3)证明:∵h(x)=f′(x)-6a(x-x1),∴h(x1)=f′(x1)=3ax12+2


b
x1-a2,由(1)知x1=-1-


b
3a
代入h(x1)表达式,即h(x1)=-a2+3a-
b
3a
,由(2)知b=9a2-6a3,于是h(x1)=a2且0<a≤3,所以0<a2≤9,即0<a2≤12恒成立.
故当x1<x<2时|h(x1)|≤12a,命题得证.
举一反三
函数y=xsinx+


x
的导数是(  )
A.y′=sinx+xcosx+
1
2


x
B.y′=sinx-xcosx+
1
2


x
C.y′=sinx+xcosx-
1
2


x
D.y′=sinx-xcosx-
1
2


x
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=(2x-1)(x2+3)则f′(x)=______.
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已知函数f(x)=x•ex,则f′(0)=______.
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f(x)=sinx-cosx,则f′(x)=(  )
A.sinxB.0C.2sinxD.cosx+sinx
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设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则数列{
1
f(n)
}(n∈N*)的前n项和是(  )
A.
n
n+1
B.
n+2
n+1
C.
n
n-1
D.
n+1
n
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