对于一般的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,(a≠0)定义:设f""(x)是函数y=f(x)的导函数y=f"(x)的导数.若f""(x)=0有实数解x
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对于一般的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,(a≠0)定义:设f""(x)是函数y=f(x)的导函数y=f"(x)的导数.若f""(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”,现已知:g(x)=(x-a)(x-b)(x-c),请解答下列问题: (Ⅰ).若y=g(x)是R上的增函数,求证a=b=c; (Ⅱ)在(Ⅰ).的条件下,求函数y=g(x)的“拐点”A的坐标,并证明函数y=g(x)的图象关于“拐点”A成中心对称. |
答案
(I)∵g(x)=(x-a)(x-b)(x-c), ∴g"(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b) =3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac, ∵y=g(x)是R上的增函数, ∴g"(x)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac≥0在R上恒成立 即4(a+b+c)2-12(ab+bc+ac)≤0 则2a2+2b2+2c2-2(ab+bc+ac)≤0即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0 ∴a=b=c; (II)由(I)得y=g(x)=(x-a)3 g"(x)=3(x-a)2,g""(x)=6(x-a)=0 解得x=a ∴函数y=g(x)的“拐点”A的坐标为(a,0) 设函数y=g(x)图象上任意一点(x,y)则关于(a,0)的对称点为(2a-x,-y) 根据g(2a-x)=(a-x)3=-g(x)可知点(2a-x,-y)也在函数y=g(x)图象上 ∴函数y=g(x)的图象关于“拐点”A(a,0)成中心对称. |
举一反三
设f(x)=2sinx,则f"(x)等于( )A.-2cosx | B.2cosx | C.0 | D.-2sinx |
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定义在R上的函数f(x)满足f′(x)-2f(x)=0(其中f′(x)为f(x)的导函数),则这样的函数个数为( ) |
已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),且f′(a)=f′(b)=1,则f′(c)等于( ) |
f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a<b,则必有( )A.af(b)≤bf(a) | B.bf(a)≤af(b) | C.af(a)≤f(b) | D.bf(b)≤f(a) |
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