试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值、向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,对求导,将切点的横坐标1代入到中得到切线的斜率,代入到中得到切点的纵坐标,从而利用点斜式得到切线方程;第二问,先求函数的定义域,令,得到方程的根,将定义域断开,判断函数的单调性,从而求出函数极值;第三问,先排除几个特例情况,在一般情况中,要证明三角形为直角三角形,只需判断2边垂直,用向量垂直的充要条件证明即可. 试题解析:(1), ,又,所以曲线在处的切线方程为,即. (2)(ⅰ)对于,定义域为. 当时,,,∴; 当时,;当时,,,∴ 所以存在唯一的极值点,∴,则点为 (ⅱ)若,则,与条件不符, 从而得.同理可得. 若,则,与条件不符,从而得. 由上可得点,,两两不重合.
从而,点,,可构成直角三角形. |