设是函数的一个极值点.(1)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;(2)设,在区间[0,4]上是增函数.若存在使得成立,求的取值范围.

设是函数的一个极值点.(1)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;(2)设,在区间[0,4]上是增函数.若存在使得成立,求的取值范围.

题型:不详难度:来源:
是函数的一个极值点.
(1)求的关系式(用表示),并求的单调区间;
(2)设在区间[0,4]上是增函数.若存在使得成立,求的取值范围.
答案
(1)b=-3-2a , 当a<-4时f (x) 的减区间有(-∞,3)和(―a―1,+∞),增区间为(3,―a―1); 当a>-4时f (x) 的减区间有(-∞,―a―1)和(3,+∞),增区间为(―a―1,3);
(2)(0,).
解析

试题分析:(1)由是函数的一个极值点,可得 ,从而就可用用表示出 来;这样就可以用a的代数式将表达出来,令其等于零解得两个实根,注意由已知这两个实根应该不等而得到:a≠-4 ,然后通过讨论两根的大小及 的符号就可确定函数的单调区间;(2)由(1)可求得当当a>0时,在区间[0,4]上的最大值和最小值,由已知也可求得在区间[0,4]上的最大值的最小值;而存在使得成立等价于,解此不等式就可求得的取值范围.
试题解析:(1)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x,
,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3=0,即得b=-3-2a,
则 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x=-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.
令f `(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,所以,那么a≠-4.
当a<-4时,x2>3=x1,则
在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;
在区间(3,―a―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;
在区间(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.
当a>-4时,x2<3=x1,则
在区间(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;
在区间(―a―1,3)上,f (x)>0,f (x)为增函数;
在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.
(2)由(Ⅰ)知,当a>0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min{f (0),f (4) },f (3)],
而f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6,
那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].
在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是[a2,(a2)e4],
由于(a2)-(a+6)=a2-a+=(2≥0,所以只需且仅须
(a2)-(a+6)<1且a>0,解得0<a<.
故a的取值范围是(0,).
举一反三
已知可导函数为定义域上的奇函数,时,有,则的取值范围为(   )
A.B.C.D.

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已知函数在区间上为减函数, 则的取值范围是__  ___.
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设函数
(1)若时有极值,求实数的值和的极大值;
(2)若在定义域上是增函数,求实数的取值范围.
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已知函数,( 为常数,为自然对数的底).
(1)当时,求
(2)若时取得极小值,试确定的取值范围;
(3)在(2)的条件下,设由的极大值构成的函数为,将换元为,试判断曲线是否能与直线为确定的常数)相切,并说明理由.
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已知函数,其中是自然对数的底数,
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若,求的单调区间;
(3)若,函数的图像与函数的图像有3个不同的交点,求实数的取值范围.
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