已知函数f(x)=+ln x.(1)当a=时,求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;(2)若函数g(x)=f(x)-x在[1,e]上为增函数,求正实数a的取

已知函数f(x)=+ln x.(1)当a=时,求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;(2)若函数g(x)=f(x)-x在[1,e]上为增函数,求正实数a的取

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=+ln x.
(1)当a=时,求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)-x在[1,e]上为增函数,求正实数a的取值范围.
答案
(1) 最大值是0,最小值是ln 2-1   (2)
解析
(1)当a=时,f(x)=+ln x,
f′(x)=,令f′(x)=0,得x=2.
∴当x∈[1,2)时,f′(x)<0,故f(x)在[1,2)上单调递减;
当x∈(2,e]时,f′(x)>0,故f(x)在(2,e]上单调递增.
∴f(x)在区间[1,e]上有唯一的极小值点,
故f(x)min=f(x)极小值=f(2)=ln 2-1.
又∵f(1)=0,f(e)=<0.
∴f(x)在区间[1,e]上的最大值f(x)max=f(1)=0.
综上可知,函数f(x)在[1,e]上的最大值是0,最小值是ln 2-1.
(2)∵g(x)=f(x)-x=+ln x-x,
∴g′(x)= (a>0),
设φ(x)=-ax2+4ax-4,由题意知,只需φ(x)≥0在[1,e]上恒成立即可满足题意.
∵a>0,函数φ(x)的图象的对称轴为x=2,
∴只需φ(1)=3a-4≥0,即a≥即可.
故正实数a的取值范围为.
举一反三
已知函数f(x)=ln x+ax(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=x2-4x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.
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已知函数f(x)=-x3+ax2-4(a∈R).
(1)若函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为,求f(x)在[-1,1]上的最小值;
(2)若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0,求a的取值范围.
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已知a∈R,函数f(x)=4x3-2ax+a.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+|2-a|>0.
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函数yxcos x-sin x在下面哪个区间内是增函数 (  ).
A.B.C.D.

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已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1.
(1)求ab
(2)求f(x)的单调区间.
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