已知函数f(x)=ln x+ax(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)设g(x)=x2-4x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ln x+ax(a∈R). (1)求f(x)的单调区间; (2)设g(x)=x2-4x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围. |
答案
(1) f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为 (2) |
解析
(1)f′(x)=a+= (x>0). ①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0, f′(x)>0, 所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞). ②当a<0时,由f′(x)=0,得x=-. 在区间上,f′(x)>0,在区间上,f′(x)<0,所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为. (2)由题意得f(x)max<g(x)max,而g(x)max=2, 由(1)知,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为R,故不符合题意. 当a<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减, 故f(x)的极大值即为最大值,f=-1+ln=-1-ln(-a),所以2>-1-ln(-a),解得a<-. 故a的取值范围为. |
举一反三
已知函数f(x)=-x3+ax2-4(a∈R). (1)若函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为,求f(x)在[-1,1]上的最小值; (2)若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0,求a的取值范围. |
已知a∈R,函数f(x)=4x3-2ax+a. (1)求f(x)的单调区间; (2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+|2-a|>0. |
函数y=xcos x-sin x在下面哪个区间内是增函数 ( ). |
已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1. (1)求a、b; (2)求f(x)的单调区间. |
设函数f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0. ①求f(x)的单调区间;②求所有实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立. |
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