已知函数,.(Ⅰ)若与在处相切,试求的表达式;(Ⅱ)若在上是减函数,求实数的取值范围;(Ⅲ)证明不等式:.

已知函数,.(Ⅰ)若与在处相切,试求的表达式;(Ⅱ)若在上是减函数,求实数的取值范围;(Ⅲ)证明不等式:.

题型:不详难度:来源:
已知函数.
(Ⅰ)若处相切,试求的表达式;
(Ⅱ)若上是减函数,求实数的取值范围;
(Ⅲ)证明不等式:.
答案
(Ⅰ);(Ⅱ).(Ⅲ)见解析
解析

试题分析:(Ⅰ)求导数,利用处相切,可求的表达式;(Ⅱ) 在上是减函数,可得导函数小于等于 在上恒成立,分离参数,利用基本不等式,可求实数的取值范围;(Ⅲ)当x≥2时,证明 ,当x>1时,证明 ,利用叠加法,即可得到结论.
试题解析:解:(Ⅰ)由已知 且  得:     2分
            3分
(Ⅱ)上是减函数,
上恒成立.         5分
上恒成立,由
   得            6分
(Ⅲ)由(Ⅰ)可得:当时:
 得:        8分
时: 当时: 当时:
时:
上述不等式相加得:
即:     ①         9分
由(Ⅱ)可得:当时:上是减函数
时: 即
所以 从而得到:          11分
时:  当时:  当时:
时:
上述不等式相加得:

  ②
综上:)       12分
举一反三
可导函数的导函数为,且满足:①;②,记的大小顺序为(  )
A.B.C.D.

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已知函数的单调递减区间是,则实数      .
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函数的部分图象为(    )

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已知函数.
(1)求函数.的单调区间;
(2)设函数的极值.
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函数的单调递增区间为(    )
A.B.
C.D.

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