已知实数a满足1<a≤2,设函数f (x)=x3-x2+a x.(Ⅰ) 当a=2时,求f (x)的极小值;(Ⅱ) 若函数g(x)=4x3+3bx2-6(b+2
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已知实数a满足1<a≤2,设函数f (x)=x3-x2+a x.(Ⅰ) 当a=2时,求f (x)的极小值;(Ⅱ) 若函数g(x)=4x3+3bx2-6(b+2
题型:不详
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已知实数a满足1<a≤2,设函数f (x)=
x
3
-
x
2
+a x.
(Ⅰ) 当a=2时,求f (x)的极小值;
(Ⅱ) 若函数g(x)=4x
3
+3bx
2
-6(b+2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同,
求证:g(x)的极大值小于或等于10.
答案
(Ⅰ) 极小值为f (2)=
(Ⅱ)证明如下
解析
试题分析:(Ⅰ)解:当a=2时,f ′(x)=x
2
-3x+2=(x-1)(x-2).
列表如下:
x
(-
,1)
1
(1,2)
2
(2,+
)
f ′(x)
+
0
-
0
+
f (x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以,f (x)的极小值为f (2)=
.
(Ⅱ) 解:f ′ (x)=x
2
-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).
由于a>1,所以f (x)的极小值点x=a,则g(x)的极小值点也为x=a.
而g′ (x)=12x
2
+6bx-6(b+2)=6(x-1)(2x+b+2),所以
,
即b=-2(a+1).
又因为1<a≤2,所以 g(x)
极大值
=g(1)=4+3b-6(b+2)=-3b-8=6a-2≤10.
故g(x)的极大值小于或等于10.
点评:导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。
举一反三
已知函数
在R上可导,且
,则
与
的大小关系是( )
A.f (-1 ) =" f" ( 1 )
B.f (-1 ) < f ( 1 )
C.f (-1) > f ( 1 )
D.不能确定
题型:不详
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已知
是定义在
上的非负可导函数,且满足
.对任意正数
,若
,则必有( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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设
是R上的可导函数,且满足
,对任意的正实数
,下列不等式恒成立的是
A.
;
B.
;
C.
;
D.
题型:不详
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已知函数
.
(Ⅰ)若
,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若函数
的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为
,对于任意的
,函数
是
的导函数)在区间
上总不是单调函数,求
的取值范围;
(Ⅲ)求证:
.
题型:不详
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|
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已知函数f(x)=2x-
-aln(x+1),a∈R.
(1)若a=-4,求函数f(x)的单调区间;
(2)求y=f(x)的极值点(即函数取到极值时点的横坐标).
题型:不详
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|
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