如图,已知圆外有一点,作圆的切线,为切点,过的中点,作割线,交圆于、两点,连接并延长,交圆于点,连续交圆于点,若.(1)求证:△∽△;(2)求证:四边形是平行四
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如图,已知圆外有一点,作圆的切线,为切点,过的中点,作割线,交圆于、两点,连接并延长,交圆于点,连续交圆于点,若.(1)求证:△∽△;(2)求证:四边形是平行四
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知圆
外有一点
,作圆
的切线
,
为切点,过
的中点
,作割线
,交圆于
、
两点,连接
并延长,交圆
于点
,连续
交圆
于点
,若
.
(1)求证:△
∽△
;
(2)求证:四边形
是平行四边形.
答案
(1)由切割线定理,及N是PM的中点,可得PN
2
=NA•NB,结合∠PNA=∠BNP,可得△PNA∽△BNP,则∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA;再由MC=BC,可得∠MAC=∠BAC,再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB,进而得到△APM∽△ABP
(2)由∠ACD=∠PBN,可得∠PCD=∠CPM,即PM∥CD;由△APM∽△ABP,PM是圆O的切线,可证得∠MCP=∠DPC,即MC∥PD;再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形.
解析
试题分析:证明:(Ⅰ)∵
是圆
的切线,
是圆
的割线,
是
的中点,证明:(Ⅰ)∵PM是圆O的切线,NAB是圆O的割线,N是PM的中点,∴MN
2
=PN
2
=NA•NB,又∵∠PNA=∠BNP,
∴△PNA∽△BNP,∴∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA,.∵MC=BC,
∴∠MAC=∠BAC,∴∠MAP=∠PAB,∴△APM∽△ABP…(5分)
(Ⅱ)∵∠ACD=∠PBN,
∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,
∴PM∥CD.∵△APM∽△ABP,∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线,∴∠PMA=∠MCP,∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,∴MC∥PD,∴四边形PMCD是平行四边形.…(10分)
点评:本题考查的知识点是切割线定理,圆周角定理,三角形相似的判定与性质,平行四边形的判定,熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键.
举一反三
已知C点在⊙O直径BE的延长线上,CA切⊙O于A 点,CD是∠ACB的平分线且交AE于点F,交AB于点D
(1)求∠ADF的度数; (2)若AB=AC,求
的值.
题型:不详
难度:
|
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如图,⊙O内切△ABC的边于D、E、F,AB=AC,连接AD交⊙O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.
⑴证明:圆心O在直线AD上;
⑵证明:点C是线段GD的中点.
题型:不详
难度:
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在直角坐标平面内,以坐标原点0为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点M的极坐标为(4
,
),曲线C的参数方程为
(
为参数),则点M到曲线C上的点的距离的最小值为
.
题型:不详
难度:
|
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如图,过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB=________.
题型:不详
难度:
|
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如图, ⊙O为
的外接圆,直线
为⊙O的切线,切点为
,直线
∥
,交
于
,交⊙O于
,
为
上一点,且
.
求证:(Ⅰ)
;
(Ⅱ)点
、
、
、
共圆.
题型:不详
难度:
|
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