如图,⊙O内切△ABC的边于D、E、F,AB=AC,连接AD交⊙O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.⑴证明:圆心O在直线AD上;⑵证明:点C是线段GD的中点

如图,⊙O内切△ABC的边于D、E、F,AB=AC,连接AD交⊙O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.⑴证明:圆心O在直线AD上;⑵证明:点C是线段GD的中点

题型:不详难度:来源:
如图,⊙O内切△ABC的边于D、E、F,AB=AC,连接AD交⊙O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.

⑴证明:圆心O在直线AD上;
⑵证明:点C是线段GD的中点.
答案
(1)根据题意,由于∵△是等腰三角形,,∴是角∠的平分线.,进而得到说明。
(2)根据弦切角定理,以及边的对应相等的关系来得到点C是线段GD的中点证明。
解析

试题分析:证明⑴:∵.
又∵
又∵△是等腰三角形,,∴是角∠的平分线.
∴内切圆圆心O在直线AD上.                                    (5分)
⑵连接DF,由⑴知,DH是⊙O的直径,

 



∴点C是线段GD的中点.               (10分)
点评:解决的关键是根据角平分线的性质定理以及直线于圆的相切性质来得到证明。
举一反三
在直角坐标平面内,以坐标原点0为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点M的极坐标为(4),曲线C的参数方程为(为参数),则点M到曲线C上的点的距离的最小值为   
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如图,过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB=________.
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如图, ⊙O为的外接圆,直线为⊙O的切线,切点为,直线,交,交⊙O于上一点,且.

求证:(Ⅰ)
(Ⅱ)点共圆.
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如图,四边形是☉的内接四边形,不经过点平分,经过点的直线分别交的延长线于点,且,证明:

(1)
(2)是☉的切线.
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如图所示,PA为圆的切线,A为切点,PBC是过点O的割线,PA=10,PB=5,的平分线与BC和圆分别交于点D和E。

(1)求证:
(2)求AD·AE的值。
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