已知函数.(Ⅰ)当时,求证:函数在上单调递增;(Ⅱ)若函数有三个零点,求的值.
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已知函数. (Ⅰ)当时,求证:函数在上单调递增; (Ⅱ)若函数有三个零点,求的值. |
答案
(I)利用导数法求解单调区间即可证明;(II)t=2 |
解析
试题分析:(I)f’(x)=axlna+2x-lna=(ax-1) lna +2x 当a>1时,lna >0 当x∈(0,+∞)时,ax-1>0,2x>0 ∴f’(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)↑ (II)当a>1时,x∈(-∞,0)时,ax-1<0,2x<0 f’(x)<0,∴f(x)在(-∞,0)↓ 当0<a<1时, x∈(0,+∞)时,lna <0, ax-1<0, f’(x)>0,f(x)在(0,+∞)↑ x ∈(-∞,0)时, ax-1>0, lna <0 f’(x)<0, f(x)在(-∞,0)↓ ∴当a>0且a≠1时,f(x) 在(-∞,0)↓,f(x)在(0,+∞)↑ ∴x=0是f(x)在k上唯一极小值点,也是唯一最小值点. f(x)min=f(0)=1 若y=[f(x)-t]-1有三个零点,即|f(x)-t|=1,f(x)=t±1有三个根,所以t+1>t-1 ∴t-1="f" (x)min= 1,∴t=2 点评:导数本身是个解决问题的工具,是高考必考内容之一,高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用,求单调、最值、完成证明等,请注意归纳常规方法和常见注意点. |
举一反三
已知函数处有极大值,则常数c= ; |
已知函数在处取得极值. (1)求实数的值; (2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围; (3)证明:对任意的正整数,不等式都成立. |
题文已知函数. (1)求函数的单调递减区间; (2)若不等式对一切恒成立,求的取值范围. |
设函数f (x)=x3-4x+a,0<a<2.若f (x)的三个零点为x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则 A.x1>-1 | B.x2<0 | C.x2>0 | D.x3>2 |
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函数的的单调递增区间是 ( ) |
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