设函数,其中. (Ⅰ)若函数的图象在点处的切线与直线平行,求实数的值;(Ⅱ)求函数的极值.
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设函数,其中. (Ⅰ)若函数的图象在点处的切线与直线平行,求实数的值;(Ⅱ)求函数的极值.
题型:不详
难度:
来源:
设函数
,其中
.
(Ⅰ)若函数
的图象在点
处的切线与直线
平行,求实数
的值;
(Ⅱ)求函数
的极值.
答案
(Ⅰ)解:函数
的定义域是
. ……………… 1分
对
求导数,得
. ………… 3分
由题意,得
,且
,
解得
. ………………………… 5分
(Ⅱ)解:由
,得方程
,
一元二次方程
存在两解
,
,………… 6分
当
时,即当
时,
随着x的变化,
与
的变化情况如下表:
↘
极小值
↗
即函数
在
上单调递减,在
上单调递增.
所以函数
在
存在极小值
; …………… 8分
当
时,即当
时,
随着x的变化,
与
的变化情况如下表:
↗
极大值
↘
极小值
↗
即函数
在
,
上单调递增,在
上单调递减.
所以函数
在
存在极小值
,在
存在极大值
; ………………………… 10分
当
时,即当
时,
因为
(当且仅当
时等号成立),
所以
在
上为增函数,故不存在极值; ……………12分
当
时,即当
时,
随着x的变化,
与
的变化情况如下表:
极大值
极小值
即函数
在
,
上单调递增,在
上单调递减.
所以函数
在
存在极大值
,在
存在极小值
;
综上,当
时,函数
存在极小值
,不存在极大值;
当
时,函数
存在极小值
,存在极大值
;
当
时,函数
不存在极值;
当
时,函数
存在极大值
,存在极小值
.
解析
本试题主要是考查了导数的几何意义的运用,以及运用到导数求解函数极值的综合运用
(1)先分析定义域,然后求解导数得到再给定点的导数值,进而确定切线方程 。
(2)需要对参数a进行分类讨论,判定单调性,进而得到不同情况下的极值问题。
举一反三
已知函数
在
处有极值
。
(Ⅰ)求实数
的值;
(Ⅱ)求函数
的单调区间。
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
。
(Ⅰ)讨论函数
的单调区间;
(Ⅱ)若
在
上恒成立,求
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
查看答案
(16分)设函数
,
⑴当
时,讨论函数
的单调性;
⑵若函数
仅在
处有极值,试求
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
查看答案
对于三次函数
,定义
是
的导函数
的导函数,若方程
有实数解
,则称点
为函数
的“拐点”,可以证明,任何三次函数都有“拐点”,任何三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心,请你根据这一结论判断下列命题:
①任意三次函数都关于点
对称:
②存在三次函数
有实数解
,点
为函数
的对称中心;
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心;
④若函数
,则,
其中正确命题的序号为__
_____(把所有正确命题的序号都填上).
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
(
为实数)有极值,且在
处的切线与直线
平行.
(1)求实数
的取值范围;
(2)是否存在实数
,使得函数
的极小值为
,若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由;
(3)设
,
的导数为
,令
求证:
题型:不详
难度:
|
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