本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用,求解函数的单调性和函数的极值,以及函数与不等式的综合运用。 (1)先求解函数的定义域,然后求解导数,令导数大于零或者小于零得到单调区间。 (2)由⑴得当时函数无极值点,接下来对于参数b,进行分类讨论,看导数为零的解,进而确定极值的问题。 (3)当时,函数,令函数, 则,当时, 函数在上单调递增,又,时,恒有 即恒成立,从而得到证明。 解:⑴由题意知的定义域为(1分), 设,其图象的对称轴为, 当时,,即在上恒成立,当时, 当时函数在定义域上单调递增。………………………(3分) ⑵①由⑴得当时函数无极值点………………………(4分) ②时,有两个相同的解 时,,时, 函数在上无极值点………………………(5分) ③当时,有两个不同解,, 时,,即 时,、随的变化情况如下表:
由此表可知时,有唯一极小值点;………………(7分) 当时,,,此时,、随的变化情况如下表:
由此表可知:时,有一个极大值点和一个极小值点;……………(9分) 综上所述:时,有唯一极小值点;时,有一个极大值点和一个极小值点;时,无极值点。(10分) ⑶当时,函数,令函数, 则,当时, 函数在上单调递增,又,时,恒有 即恒成立…………………………(12分) 故当时,有…………………………(13分) 对任意正整数,取,则有,故结论成立。……(14分) |