(本小题满分14分)已知函数(为常数,).(Ⅰ)若是函数的一个极值点,求的值;(Ⅱ)求证:当时,在上是增函数;(Ⅲ)若对任意的(1,2),总存在,使不等式成立,
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(本小题满分14分)已知函数(为常数,).(Ⅰ)若是函数的一个极值点,求的值;(Ⅱ)求证:当时,在上是增函数;(Ⅲ)若对任意的(1,2),总存在,使不等式成立,
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分14分)已知函数
(
为常数,
).
(Ⅰ)若
是函数
的一个极值点,求
的值;
(Ⅱ)求证:当
时,
在
上是增函数;
(Ⅲ)若对任意的
(1,2),总存在
,使不等式
成立,求实数
的取范围.
答案
(Ⅰ)
满足条件;(Ⅱ)
在
上是增函数;(Ⅲ)实数
的取值范围为
.
解析
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。以及不等是的求解,和函数单调性的判定的综合运用。
(1)因为
由已知,得
即
, 得到a的值,
(2)当
时,
当
时,
.又
,
故
在
上是增函数
(3)当
时,由(Ⅱ)知,
在
上的最大值为
于是问题等价于:对任意的
,不等式
恒成立.
利用构造函数得到结论。
解:
……………1分
(Ⅰ)由已知,得
即
,
……3分
经检验,
满足条件.……………………………………4分
(Ⅱ)当
时,
…………5分
当
时,
.又
,
故
在
上是增函数
(Ⅲ)当
时,由(Ⅱ)知,
在
上的最大值为
于是问题等价于:对任意的
,不等式
恒成立.
记
则
…………………………9分
当
时,有
,且
在区间(1,2)上递减,且
,则
不可能使
恒成立,故必有
…………11分
当
,且
若
,可知
在区间
上递减,在此区间
上有
,与
恒成立矛盾,故
,这时
,即
在(1,2)上递增,恒有
满足题设要求.
,即
,所以,实数
的取值范围为
.……………………14分
举一反三
(14分)设函数
,其中
。
⑴当
时,判断函数
在定义域上的单调性;
⑵求函数
的极值点;
⑶证明对任意的正整数
,不等式
成立。
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)设函数
,
.
(Ⅰ)当
时,证明
在
是增函数;
(Ⅱ)若
,
,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本题满分14分)已知函数
,
.
(1)若函数
依次在
处取到极值.
①求
的取值范围;
②若
,求
的值.
(2)若存在实数
,使对任意的
,不等式
恒成立.求正整数
的最大值
题型:不详
难度:
|
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下列关于函数f(x)=(2x-x
2
)e
x
的判断正确的是
①f(x)>0的解集是{x|0<x<2};
②f(-)是极小值,f()是极大值;
③f(x)没有最小值,也没有最大值.
A.①③
B.①②
C.②
D.①②③
题型:不详
难度:
|
查看答案
y=x -ln(1+x)的单调递增区间是 ( )
A.( -1 ,0 )
B.( -1 ,+
)
C.(0 ,+
)
D.(1 ,+
)
题型:不详
难度:
|
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