已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数m,使得

已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数m,使得

题型:解答题难度:一般来源:福建
已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m,使得方程f(x)+
37
x
=0
在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
答案
(1)∵f(x)是二次函数,且f(x)<0的解集是(0,5),∴可设f(x)=ax(x-5)(a>0).
∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f(-1)=6a.
由已知得6a=12,∴a=2,∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R).
(2)方程f(x)+
37
x
=0
等价于方程 2x3-10x2+37=0.
设h(x)=2x3-10x2+37,则h"(x)=6x2-20x=2x(3x-10).
在区间x∈(0,
10
3
)
时,h"(x)<0,h(x)是减函数;
在区间(-∞,0),或(
10
3
,+∞)
上,h"(x)>0,h(x)是增函数,故h(0)是极大值,h(
10
3
)是极小值.
h(3)=1>0,h(
10
3
)=-
1
27
<0,h(4)=5>0

∴方程h(x)=0在区间(3,
10
3
),(
10
3
,4)
内分别有惟一实数根,故函数h(x)在(3,4)内有2个零点.
而在区间(0,3),(4,+∞)内没有零点,在(-∞,0)上有唯一的零点.
画出函数h(x)的单调性和零点情况的简图,如图所示.
所以存在惟一的自然数m=3,使得方程f(x)+
37
x
=0
在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根.

魔方格
举一反三
已知f(x)为二次函数,不等式f(x)+2<0的解集为( -1,  
1
3
 )
,且对任意α,β∈R恒有f(sinα)≤0,f(2+cosβ)≥0.数列an满足a1=1,3an+1=1-
1
f′(an)
(n∈N×
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)设bn=
1
an
,求数列bn的通项公式;
(Ⅲ)若(Ⅱ)中数列bn的前n项和为Sn,求数列Sn•cos(bnπ)的前n项和Tn
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知y=f(x)是R上的偶函数,当x≥0 时,f(x)=x(x+1),当x<0 时,f(x)=(  )
A.-x(1-x)B.x(1-x)C.-x(1+x)D.x(1+x)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知三次函数f(x)的导函数f′(x)=3x2-3ax,f(0)=b,a、b为实数.
(1)若曲线y=f(x)在点(a+1,f(a+1))处切线的斜率为12,求a的值;
(2)若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,且1<a<2,求函数f(x)的解析式.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
如图所示的是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则x12+x22等于(  )
A.
2
3
B.
4
3
C.
8
3
D.
16
3
魔方格
题型:单选题难度:一般| 查看答案
若x1、x2(x1≠x2)是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点.
(1)若x1=-
1
3
x2=1
,求函数f(x)的解析式;
(2)若|x1|+|x2|=2


3
,求b的最大值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.