本试题主要是考查了导数在研究函数中的 运用,求解函数的单调性,和函数的极值问题,以及函数的凸凹性的研究的综合运用。 (1)利用定义域和导数来求解函数的单调区间的问题。 (2)因为 显然才有唯一的极值点,利用这一点得到a的不等式,从而求解范围。 (3)根据新的凸函数与凹函数的定义,借助于导数的思想来判定结论。 解:(Ⅰ)当时, ………………2分 递增,递减 ………………4分 (Ⅱ) 显然才有唯一的极值点,它满足 ………………6分 消去,得, 方程的正跟比1大 ………………8分 故 ………………9分 (Ⅲ)在处取得最小值 故上为凸函数,上为凹函数 ………………11分 下证上为凸函数: 不妨设 令 ……13分
故在上递减,
即上为凸函数. 同理上为凹函数. ………………15分 |