本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用单调性确定参数的取值范围,和零点的问题,及不等式的证明综合运用。 (1)因为函数. ,当时,若函数在上为单调增函数,则其导数恒大于等于零,得到的取值范围; (2)当且时,运用导数的思想判定函数的单调性,确定函数f (x)存在唯一零点的充要条件是; (3)因为,且,要证:<,采用分析法的思想来证明该不等式。 (1)当b=1时,. 因为在上为单调递增函数,所有在上恒成立, 即在上恒成立, 当时,由,得. 设,,当且仅当时,等号成立. 即时,有最小值2,所以,解得. 所有a的取值范围是 . …………………………4分 (2). 当时,,在上单调递减; 当时,,在上单调递增. 综上所述,的单调递减区间为;的单调递增区间为. ①充分性:时,在处有极小值也是最小值, 即.在上有唯一的一个零点. ②必要性:f(x)=0在上有唯一解,且, f(a)=0,即. 令, . 当时,,在上单调递增;当时,, 在上单调递减.,只有唯一解. 在上有唯一解时必有. 综上,在时,在上有唯一解的充要条件是.…………10分 (3)不妨设>n>0,则>1,要证<, 只需要<,即证>,只需证>0, 设,由(1)知,在上是单调增函数,又>1,有>,即>0成立,所以<. ………16分 |