本试题主要是考查了导数在研究函数的中的运用。确定函数的单调性,以及函数的极值点,和函数的最值问题的综合运用。 (1)由于当a=4时,解析式确定,求解导数,判定单调性,可以知道函数的 极值点的问题。 (2)因为令 ,若函数 在区间 上单调递增,说明了函数F(x)在给定区间的导数恒大于等于零,来分离参数得到取值范围。 (3)根据新的定义“特殊点”的理解,然后给定参数a的值为4,结合第一问的结论,分析可知是否有满足题意的特殊点,主要是借助于导数分析单调性得到。 (Ⅰ)当 时, =![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018112838-29635.png) 当 时, ,即 在 上单调递增; 当 时, ,即 在 上单调递减, 所以 为函数 的极大值点, 为函数 的极小值点. ……4分 (Ⅱ) ,若函数 在区间 上单调递增,只需满足 对 恒成立 ………………6分 即 对 恒成立 所以 ………………………8分 (Ⅲ)由题意:当 时, , 则在点P处切线的斜率![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018112845-74328.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018112845-17959.png) 所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018112845-16345.png)
………………………10分 令![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018112845-58442.png) , 则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018112846-31903.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018112846-91529.png) 当 时, 在 上单调递减. 时, 从而有 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018112847-61773.png) 当 时, 在 上单调递减,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018112847-42964.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018112847-67666.png) 从而有 时, ………………………12分
在 上不存在“特殊点”.当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018112848-21634.png)
在 上是增函数,故![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018112837-39311.png) 是一个特殊点的横坐标. |