(满分14分)设函数(1)设曲线在点(1,)处的切线与x轴平行.① 求的最值;② 若数列满足(为自然对数的底数),,求证: .(2)设方程的实根为.求证:对任意

(满分14分)设函数(1)设曲线在点(1,)处的切线与x轴平行.① 求的最值;② 若数列满足(为自然对数的底数),,求证: .(2)设方程的实根为.求证:对任意

题型:不详难度:来源:
(满分14分)设函数
(1)设曲线在点(1,)处的切线与x轴平行.
① 求的最值;
② 若数列满足为自然对数的底数),
求证: .
(2)设方程的实根为
求证:对任意,存在使成立.
答案
解:(1)①的最小值为。无最大值;②见解析;(2)见解析.
解析
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的单调性和导数几何意义的运用,以及不等式的证明的综合问题
(1)第一问利用已知条件得打参数m的值,然后求解导数。判定其单调性,求解函数的单调区间,从而得到最值和放缩法得到不等式的证明
(2)第二问中运用函数与方程思想,来分析方程的解的问题。并构造函数来证明不等式 成立。
解:(1)由已知

。则在(0,1)上是减函数,在上是增函数。的最小值为。无最大值..............................4'
(当且仅当时取到等号)




。又

故不等式成立。...........9'
(2)设上递增。

所以方程上有唯一根而不等式

不妨设



设集合
即存在成立。
那么不等式也成立
故对任意使得成立...14'
举一反三
已知函数的定义域为,导函数为,则满足的实数的取值范围为(   )
A.B.C.D.

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(本小题满分12分)已知,函数
(1)当时,求函数在点(1,)的切线方程;
(2)求函数在[-1,1]的极值;
(3)若在上至少存在一个实数x0,使>g(xo)成立,求正实数的取值范围。
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已知函数
(Ⅰ)当a=﹣2时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若g(x)= +1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=-2+lnx.
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调递增函数,求实数a的取值范围.
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已知函数(常数).
(Ⅰ)求的单调区间;(5分)
(Ⅱ)设如果对于的图象上两点,存在,使得的图象在处的切线,求证:.(7分)
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