本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。 利用导数的几何意义求解切线方程,并结合导数的符号与单调性的关系,求解函数的极值,并分析方程根的问题的综合运用。 (1)先求解函数定义域和导数,然后得到切点处的导数值即为切线的斜率,利用点斜式得到方程。 (2)因为是关于含有参数的二次函数形式,那么对于参数a分情况讨论得到单调性和极值问题。 (3)构造新的函数设,,利用导数的思想求解其最大值即可。便可以得到a的范围。 解:(Ⅰ)∵ ∴ ∴ 当时, 又 ∴ 函数在点(1,)的切线方程为 --------4分 (Ⅱ)令 有 ② 当即时
| (-1,0)
| 0
| (0,)
|
| (,1)
|
| +
| 0
| -
| 0
| +
|
|
| 极大值
|
| 极小值
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| 故的极大值是,极小值是 ③ 当即时,在(-1,0)上递增,在(0,1)上递减,则的极大值为,无极小值。 综上所述 时,极大值为,无极小值 时 极大值是,极小值是 ----------8分 (Ⅲ)设, 对求导,得 ∵, ∴在区间上为增函数,则 依题意,只需,即 解得 或(舍去) 则正实数的取值范围是(,) ----------12分 |