本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。 利用导数的几何意义求解切线方程,并结合导数的符号与单调性的关系,求解函数的极值,并分析方程根的问题的综合运用。 (1)先求解函数定义域和导数,然后得到切点处的导数值即为切线的斜率,利用点斜式得到方程。 (2)因为 是关于含有参数的二次函数形式,那么对于参数a分情况讨论得到单调性和极值问题。 (3)构造新的函数设 , ,利用导数的思想求解其最大值即可。便可以得到a的范围。 解:(Ⅰ)∵ ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113441-61803.png) ∴ 当 时, 又 ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113442-27784.png) ∴ 函数 在点(1, )的切线方程为 --------4分 (Ⅱ)令 有 ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113442-89856.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113442-13552.png) ② 当 即 时
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113443-32997.png)
| (-1,0)
| 0
| (0, )
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| ( ,1)
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| +
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| +
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| 极大值
| ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113444-16543.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113444-10240.png)
| 极小值
| ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113443-18757.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113444-10240.png)
| 故 的极大值是 ,极小值是![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113439-51276.png) ③ 当 即 时, 在(-1,0)上递增,在(0,1)上递减,则 的极大值为 ,无极小值。 综上所述 时,极大值为 ,无极小值
时 极大值是 ,极小值是 ----------8分 (Ⅲ)设 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113441-42035.png) 对 求导,得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113445-40207.png) ∵ , ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113445-36313.png) ∴ 在区间 上为增函数,则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113445-37688.png) 依题意,只需 ,即 解得 或 (舍去) 则正实数 的取值范围是(![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113440-81835.png) , ) ----------12分 |