设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值

设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值

题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
答案
(1) f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)是增函数,在区间(2,2a)是减函数.
(2)a的取范围是(1,6).
解析
(1)求导后,可得,然后利用导数大于(小于)零,求函数的单调增(减)区间.
(2)把握住本小题求解问题的本质是当x≥0时,f(x)的最小值大于零恒成立,求a的取值范围,因而利用导数求最小值即可
(1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a) 由已知a>1,∴2a>2,∴令f′(x)>0,解得x>2a或x<2,∴当x∈(-∞,2)∪(2a,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(2,2a)时,f(x)单调递减.综上,当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)是增函数,在区间(2,2a)是减函数.
(2)由(1)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值.
f(2a)=(2a) 3-(1+a)(2a)2+4a·2a+24a
=-a3+4a2+24a=-a(a-6)(a+3),f (0)=24a.

解得1<a<6.故a的取范围是(1,6).
举一反三
求函数+3的单调递增和递减区间。
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函数在下面哪个区间是增函数   (   )
A.B.C.D.

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已知函数处取得极值,
(1)求实数的值;
(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围.
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已知函数
(1)求函数的单调区间;
(2)若恒成立,试确定实数k的取值范围;
(3)证明:
上恒成立

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函数 
(Ⅰ) 当时,求证:;(4分)
(Ⅱ) 在区间恒成立,求实数的范围。(4分)
(Ⅲ) 当时,求证:.(4分)
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