本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归纳推理能力有较高要求。 (1),令,解得. 当时,,所以在内是减函数; 当 时,,所以在内是增函数. 故函数在处取得最小值. (2)由(1)知,当时,有,即 ① 若,中有一个为0,则成立; 若,均不为0,又,可得,于是 在①中令,,可得, 即,亦即. 综上,对,,为正有理数且,总有. ② (3)(2)中命题的推广形式为: 设为非负实数,为正有理数. 若,则. ③ 用数学归纳法证明如下: (1)当时,,有,③成立. (2)假设当时,③成立,即若为非负实数,为正有理数, 且,则. 当时,已知为非负实数,为正有理数, 且,此时,即,于是 =. 因,由归纳假设可得 , 从而. 又因,由②得
, 从而. 故当时,③成立. 由(1)(2)可知,对一切正整数,所推广的命题成立. 说明:(3)中如果推广形式中指出③式对成立,则后续证明中不需讨论的情况. |