(本小题满分14分) 设函数.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间和极大值点; (Ⅱ)已知,若函数的图象总在直线的下方,求的取值范围;(Ⅲ)记为函数的导函数.若,试问:

(本小题满分14分) 设函数.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间和极大值点; (Ⅱ)已知,若函数的图象总在直线的下方,求的取值范围;(Ⅲ)记为函数的导函数.若,试问:

题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分) 设函数.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间和极大值点;
(Ⅱ)已知,若函数的图象总在直线的下方,求的取值范围;
(Ⅲ)记为函数的导函数.若,试问:在区间上是否存在)个正数,使得成立?请证明你的结论.
答案
(Ⅰ)单调增区间为,单调减区间为,极大值点
(Ⅱ).
(Ⅲ)在区间上不存在使得成立的)个正数.
解析
(1)当时,求出的导函数,令,列表研究其单调性和极值;
(2)只要求出的最大值小于即可,求出函数的导数,研究单调性可得到的最大值就是其极大值,解不等式得的取值范围;
(3)时,,要研究的单调性,记,其中.,即上为增函数.又,所以,对任意的,总有
.。故不存在
解:(Ⅰ)当时,
得到,列表如下:










极大值

所以的单调增区间为,单调减区间为
极大值点
(Ⅱ).
,则.
时,;当时,.
为函数的唯一极大值点,
所以的最大值为=.
由题意有,解得.
所以的取值范围为.
(Ⅲ)当时,.    记,其中.
∵当时,,∴上为增函数,
上为增函数.又
所以,对任意的,总有.
所以
又因为,所以.
故在区间上不存在使得成立的)个正数.
举一反三
(本小题满分14分) 设函数.
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,若函数上是增函数,求的取值范围;
(Ⅲ)若,不等式对任意恒成立,求整数的最大值.
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(本小题满分14分)规定其中x∈R,m为正整数,且=1,这是排列数A(nm是正整数,且mn)的一种推广.
(1)求A的值; (2)确定函数的单调区间.
(3) 若关于的方程只有一个实数根, 求的值.
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(理)(14分)设函数,其中
(I)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(II)求函数的极值点;
(III)证明对任意的正整数n,不等式都成立.
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,则(    )
A.B.C.D.

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已知函数,其中.
(1)若处取得极值,求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
(3)若函数上的最小值为2,求的取值范围.
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