已知函数f(x)= x/4+ln(x-2)/(x-4),(1)求函数f)x)的定义域和极值;(2)若函数(fx)在区间[a2-5a,8-3a]上为增函数,求实数

已知函数f(x)= x/4+ln(x-2)/(x-4),(1)求函数f)x)的定义域和极值;(2)若函数(fx)在区间[a2-5a,8-3a]上为增函数,求实数

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已知函数f(x)= x/4+ln(x-2)/(x-4),(1)求函数f)x)的定义域和极值;(2)若函数(fx)在区间[a2-5a,8-3a]上为增函数,求实数a的取值范围;(3)函数f(x)的图象是否为中心对称图形?若是请指出对称中心,并证明;若不是,请说明理由.
答案
解:
(1)
(2)
(3)中心对称图形,对称中心是(3, 3/4).
解析

求函数f)x)的定义域 (x-2)/(x-4)求极值时,令导数为0,,得出x;若函数(fx)在区间[a2-5a,8-3a]上为增函数,则导函数在[a2-5a,8-3a]恒非负;根据函数图像,若有对称中心,则是中心一定在两极值点的中心(3, 3/4),证明时,只需证明点均在函数图像上。
(1)函数的定义域为(-∞,2)∪(4,+∞),由得:x=0或x=6,所以

(-∞,0)
0
(0,2)
(4,6)
6
(6,+∞)

+
0
-
-
0
+


极大值


极小值


(2)由⑴知所以
(3)由⑴知函数的图象若是中心对称图形,则中心一定在两极值点的中心(3, 3/4),下面证明:
是函数的图象上的任意一点,则是它关于(3, 3/4)的对称点,而,即也在函数的图象上.所以函数的图象是中心对称图形,其中心是(3, 3/4)
举一反三
如图所示,是定义在区间)上的奇函数,令,并有关于函数的四个论断:

①若,对于内的任意实数),恒成立;
②函数是奇函数的充要条件是
③若,则方程必有3个实数根;
的导函数有两个零点;
其中所有正确结论的序号是(    ).
A.①②B.①②③
C.①④D.②③④

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(本小题满分14分) 设函数.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间和极大值点;
(Ⅱ)已知,若函数的图象总在直线的下方,求的取值范围;
(Ⅲ)记为函数的导函数.若,试问:在区间上是否存在)个正数,使得成立?请证明你的结论.
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(本小题满分14分) 设函数.
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,若函数上是增函数,求的取值范围;
(Ⅲ)若,不等式对任意恒成立,求整数的最大值.
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(本小题满分14分)规定其中x∈R,m为正整数,且=1,这是排列数A(nm是正整数,且mn)的一种推广.
(1)求A的值; (2)确定函数的单调区间.
(3) 若关于的方程只有一个实数根, 求的值.
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(理)(14分)设函数,其中
(I)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(II)求函数的极值点;
(III)证明对任意的正整数n,不等式都成立.
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