:(Ⅰ)求导,由导数可求得增区间,(Ⅱ)先写出切线方程,证明唯一。 解:(Ⅰ) , . ……………………2分 ∵且, ∴, ∴函数的单调递增区间为. ……………………4分 (Ⅱ)∵ ,∴, ∴ 切线的方程为, 即, ① ……………………6分 设直线与曲线相切于点, ∵,∴,∴. ……………………8分 ∴直线的方程为, 即, ② ……………………9分 由①②得 , ∴. …………………11分 下证:在区间上存在且唯一: 由(Ⅰ)可知,在在区间上递增. 又,, ……………13分 结合零点存在性定理,说明方程必在区间上有唯一的根,这个根就是所求的唯一. 故结论成立. ………………14分 |