解:(Ⅰ)∵ ∴当、时,在区间、上单调递减. 当时,在区间上单调递增. ………3分 (Ⅱ)由,得. ∵,且等号不能同时取得,∴, ∵对任意,使得恒成立, ∴对恒成立,即.() 令,求导得,, ………5分 ∵, ∴在上为增函数,,. ………7分 (Ⅲ)由条件,, 假设曲线上总存在两点满足:是以为钝角顶点的钝角三角形,且最长边的中点在轴上,则只能在轴两侧. 不妨设,则. ∴, …(※), 是否存在两点满足条件就等价于不等式(※)在时是否有解.………9分 ① 若时,,化简得,对此不等式恒成立,故总存在符合要求的两点P、Q; ………11分 ② 若时,(※)不等式化为,若,此不等式显然对恒成立,故总存在符合要求的两点P、Q; 若a>0时,有…(▲), 设,则, 显然, 当时,,即在上为增函数, 的值域为,即, 当时,不等式(▲)总有解.故对总存在符合要求的两点P、Q. ………13分 综上所述,曲线上总存在两点,使得是以为钝角顶点的钝角三角形,且最长边的中点在轴上. ………14分 |