已知四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面AC,且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长;(2)求异面直线PC与BD所成角

已知四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面AC,且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长;(2)求异面直线PC与BD所成角

题型:不详难度:来源:
已知四边形ABCD为直角梯形,ADBC,∠ABC=90°,PA⊥平面AC,且PA=AD=AB=1,BC=2
(1)求PC的长;
(2)求异面直线PCBD所成角的余弦值的大小;
(3)求证:二面角BPCD为直二面角. 
答案
(1) (2) PCBD所成角的余弦值为 (3)证明略
解析
 因为PA⊥平面ACABBC,∴PBBC,即∠PBC=90°,由勾股定理得PB=
PC=.
(2)解: 如图,过点CCEBDAD的延长线于E,连结PE,则PCBD所成的角为∠PCE或它的补角.

CE=BD=,且PE=
∴由余弦定理得
cosPCE=
PCBD所成角的余弦值为.
(3)证明:设PBPC中点分别为GF,连结FGAGDF

GFBCAD,且GF=BC=1=AD
从而四边形ADFG为平行四边形,
AD⊥平面PAB,∴ADAG
ADFG为矩形,DFFG.
在△PCD中,PD=CD=FBC中点,
DFPC
从而DF⊥平面PBC,故平面PDC⊥平面PBC
即二面角BPCD为直二面角.
另法(向量法): (略)

举一反三

如图,已知正三棱柱的底面边长是、E是、BC的中点,AE=DE
(1)求此正三棱柱的侧棱长;(2)正三棱柱表面积;
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正方体.ABCD- 的棱长为l,点F、H分别为为、A1C的中点.

(1)证明:∥平面AFC;.
(2)证明B1H平面AFC.
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直三棱柱中,
(1)求证:平面平面
(2)求三棱锥的体积.
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(本题满分12分).如图:平面平面,是正方形,矩形,且,的中点。

(1)求证平面平面;(2)求四面体的体积。
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在四棱锥PABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,问底面的边BC上是否存在点E.
(1)使∠PED=90°;
(2)使∠PED为锐角. 证明你的结论.
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