（本小题满分16分）已知函数.（Ⅰ）若函数在区间上存在极值，其中，求实数的取值范围；（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：.

题型：不详难度：来源：

（本小题满分16分）已知函数.
（Ⅰ）若函数在区间上存在极值，其中，求实数的取值范围；
（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证：.

答案

解：（Ⅰ）因为， x >0，则，
当时，；当时，.
所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，所以函数在处取得极大值. 因为函数在区间（其中）上存在极值，
所以 解得.
（Ⅱ）不等式即为 记
所以
令，则，     ，    
在上单调递增，  ，从而，
故在上也单调递增，  所以，所以 .
（3）由（2）知：恒成立，即，
令，则，             
所以 ,
，
，
…  … 
，                              
叠加得：
=n-2(1-)＞n-2+＞n-2 .         
则

解析

略