【解】 (Ⅰ)解:因为 …………………………(2分) 由 ;由 ,所以 在 上递增, 在 上递减 …………………………………………………………………(4分) 欲 在 上为单调函数,则 ……………………………(5分) (Ⅱ)证:因为 在 上递增,在 上递减,所以 在 处取得极小值 (7分) 又 ,所以 在 上的最小值为 …………………………(9分) 从而当 时, ,即 ………………………(10分) (Ⅲ)证:因为 ,所以 即为 , 令 ,从而问题转化为证明方程 =0 在 上有解,并讨论解的个数…………………………………………(12分) 因为 , ,所以 ①当 时, ,所以 在 上有解,且只有一解 …(13分) ②当 时, ,但由于 , 所以 在 上有解,且有两解 …………………………………(14分) ③当 时, ,所以 在 上有且只有一解; 当 时, , 所以 在 上也有且只有一解………………………………(15分) 综上所述,对于任意的 ,总存在 ,满足 , 且当 时,有唯一的 适合题意;当 时,有两个 适合题意……(16分) (说明:第(Ⅱ)题也可以令 , ,然后分情况证明 在其值域内,并讨论直线 与函数 的图象的交点个数即可得到相应的 的个数) c.o.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018173616-94818.gif) |