已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx.(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;(2)是否存在这样的a的值,使得f(x)≥g(x)+2(
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已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx. (1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性; (2)是否存在这样的a的值,使得f(x)≥g(x)+2(x∈R*)恒成立,若不存在,请说明理由;若存在,求出所有这样的值. |
答案
(1)∵f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx. 函数F(x)=f(x)-g(x), ∴F(x)=ax2-2lnx, 其定义域为(0,+∞)(1分) ∴F′(x)=2ax-=(x>0) (i)当a>0时,由ax2-1>0得x>.由ax2-1<0得0<x< 故当a>0时,F(x)的递增区间为(,+∞),递减区间为(0,).(4分) (ii)当a<0时,F"(x)<0(x>0)恒成立 故当a≤0时,F(x)在(0,+∞)上单调递减.(6分) (2)即使F(x)≥2在x>0时恒成立. 由(1)可知当a≤0时,x→+∞, 则F(x)→-∞.F(x)≥2在x>0时不可能恒成立.(7分) ∴a>0,由(1)可知 Fmin(x)=F()=1-2ln=1-ln(10分) ∴只须1-ln≥2即可, ∴lna≥1, ∴a≥e, 故存在这样的a的值, 使得f(x)≥g(x)+2(x∈R+)恒成立. a的取值范围为[e,+∞).(12分) |
举一反三
已知函数f(x)=(m,n∈R)在x=1处取得极值2. (I)求f(x)的解析式; (II)设函数g(x)=x2-2ax+a,若对于任意的x1∈R,总存在x2∈[-1,1],使得g(x2)≤f(x1),求实数a的取值范围. |
函数f(x)=xsinx+cosx+1(x∈[0,π]的最大值为( ) |
已知 f(x)=ax-lnx,g(x)=,其中x∈(0,e](e是自然常数),a∈R (Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调性、极值; (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下,f(x)>g(x)+; (Ⅲ)是否存在a∈R,使f(x)的最小值是3,若存在求出a的值,若不存在,说明理由. |
已知函数f(x)=x2+3lnx+(a-6)x在[3,+∞)上是增函数, (1)求实数a的取值范围; (2)在(1)的结论下,设g(x)=|ex-a|+a2,x∈[0,ln3],求函数g(x)的最小值. |
已知函数f(x)=6lnx+x2-8x,g(x)=+x2. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)若在区间[1,e]上至少存在一点x0,使f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围. |
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