已知 f（x）=ax-lnx，g（x）=lnxx，其中x∈（0，e]（e是自然常数），a∈R（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调性、极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条

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已知 f（x）=ax-lnx，g（x）=

lnx

x

，其中x∈（0，e]（e是自然常数），a∈R
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调性、极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+

1

2

；   
（Ⅲ）是否存在a∈R，使f（x）的最小值是3，若存在求出a的值，若不存在，说明理由．

答案

（Ⅰ）∵f（x）=x-lnx，f"（x）=1-

1

x

=

x-1

x

（1分）
∴0＜x＜1时，f"（x）＜0，此时f（x）单调递减，
1＜x＜e时，f"（x）＞0，此时f（x）单调递增（3分）
∴f（x）的极小值为f（1）=1（4分）
（Ⅱ）∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1，
∴f（x）＞0，f（x）_min=1（5分）
令h（x）=g（x）+

1

2

=

lnx

x

+

1

2

，h"（x）=

1-lnx

x2

，（6分）
当0＜x＜e时，h"（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增（8分）
∴h（x）_max=h（e）=

1

e

+

1

2

＜

1

2

+

1

2

=1=f（x）_min
∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+

1

2

；   （9分）
（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
f"（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

①当a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=ae-1=3⇒a=

4

e

（舍去），所以，此时f（x）无最小值．（11分）
②当0＜

1

a

＜e时，f（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在（

1

a

，e]上单调递增
f（x）_min=f（

1

a

）=1+lna=3，a=e²，满足条件．（12分）
③当

1

a

≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=ae-1=3⇒a=

4

e

（舍去），所以，此时f（x）无最小值．
综上，存在实数a=e²，使得当x∈（0，e]时f（x）有最小值3．（14分）