已知函数f(x)=2x3+px+r,g(x)=15x2+qlnx(p,q,r∈R).(I)当r=-35时f(x)和g(x)在x=1处有共同的切线,求p、q的值;

已知函数f(x)=2x3+px+r,g(x)=15x2+qlnx(p,q,r∈R).(I)当r=-35时f(x)和g(x)在x=1处有共同的切线,求p、q的值;

题型:杭州一模难度:来源:
已知函数f(x)=2x3+px+r,g(x)=15x2+qlnx(p,q,r∈R).
(I)当r=-35时f(x)和g(x)在x=1处有共同的切线,求p、q的值;
(II)已知函数h(x)=f(x)-g(x)在x=1处取得极大值-13,在x=x1和x=x2(x1≠x2)处取得极小值h(x1)和h(x2),若h(x1)+h(x2)<kln3-10成立,求整数k的最小值.
答案
(Ⅰ) f′(x)=6x2+p,g′(x)=30x+
q
x

由题意得:





f′(1)=g′(1)
f(1)=g(1)
,故





6+p=30+q
2+p-35=15
,解得:





p=48
q=24
.      (5分)
(Ⅱ)∵h(x)=f(x)-g(x)=2x3+px+r-15x2-qlnx,
h′(x)=6x2+p-30x-
q
x






h′(1)=0
h(1)=-13
得:





6+p-30-q=0
2+p+r-15=-13
,得





q=p-24
r=-p

h′(x)=6x2+p-30x-
p-24
x
=
6x3-30x2+px-p+24
x
=
6x3-6x2-24x2+px-p+24
x
=
(x-1)(6x2-24x-24+p)
x

由题意知h(x)在x=x1和x=x2处取得极小值,则0<x1<1<x2
设m(x)=6x2-24x+p-24,则





m(0)>0
m(1)<0
,从而24<p<42.





x1+x2=4
x1x2=
p-24
6
,设x1x2=t,则0<t<3
.h(x1)+h(x2)=2(x13+x23)+p(x1+x2)-2p-15(x12+x22)-(p-24)ln(x1x2)
=2(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]+4p-2p-15[(x1+x2)2-2x1x2]-(p-24)ln(x1x2)
=-112+6•x1x2+2p-(p-24)ln(x1x2
=-112+6t+12t+48-6tlnt
=-64+18t-6tlnt.             (6分)
设F(t)=-64+18t-6tlnt,
则F′(t)=18-(6lnt+6)=6(2-lnt)>0,
∴F(t)在(0,3)上是增函数,
∴h(x1)+h(x2)<F(3)=-10-18ln3.
则kln3-10≥-10-18ln3,从而k≥-18.
即:所求的k的最小值为-18.
举一反三
已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx.
(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;
(2)是否存在这样的a的值,使得f(x)≥g(x)+2(x∈R*)恒成立,若不存在,请说明理由;若存在,求出所有这样的值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
mx
x2+n
(m,n∈R)在x=1处取得极值2.
(I)求f(x)的解析式;
(II)设函数g(x)=x2-2ax+a,若对于任意的x1∈R,总存在x2∈[-1,1],使得g(x2)≤f(x1),求实数a的取值范围.
题型:三亚模拟难度:| 查看答案
函数f(x)=xsinx+cosx+1(x∈[0,π]的最大值为(  )
A.
π
2
+1
B.2C.1D.0
题型:安徽模拟难度:| 查看答案
已知 f(x)=ax-lnx,g(x)=
lnx
x
,其中x∈(0,e](e是自然常数),a∈R
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调性、极值;
(Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下,f(x)>g(x)+
1
2
;   
(Ⅲ)是否存在a∈R,使f(x)的最小值是3,若存在求出a的值,若不存在,说明理由.
题型:广东模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
1
2
x2+3lnx+(a-6)x
在[3,+∞)上是增函数,
(1)求实数a的取值范围;
(2)在(1)的结论下,设g(x)=|ex-a|+
1
2
a2
,x∈[0,ln3],求函数g(x)的最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
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