已知函数f(x)=13x3-ax2+10x(x∈R).(1)若a=3,点P为曲线y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程;(2)若
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已知函数f(x)=13x3-ax2+10x(x∈R).(1)若a=3,点P为曲线y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程;(2)若
题型:东城区模拟
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来源:
已知函数
f(x)=
1
3
x
3
-a
x
2
+10x(x∈R)
.
(1)若a=3,点P为曲线y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程;
(2)若函数y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求a的取值范围.
答案
(1)设切线的斜率为k,
则f"(x)=x
2
-6x+10=(x-3)
2
+1,(2分)
显然当x=3时切线斜率取最小值1,
又f(3)=12,(4分)
∴所求切线方程为y-12=x-3,即x-y+9=0.(6分)
(2)f"(x)=x
2
-2ax+10.(8分)
∵y=f(x)在x∈(0,+∞)为单调递增函数
即对任意的x∈(0,+∞),恒有f"(x)≥0,(10分)
即f"(x)=x
2
-2ax+10≥0.
∴
a≤
x
2
+10
2x
=
x
2
+
5
x
,(12分)
而
x
2
+
5
x
≥
10
,当且仅当
x=
10
时,等号成立,
∴
a≤
10
.(14分)
举一反三
已知函数f(x)=2x
3
+px+r,g(x)=15x
2
+qlnx(p,q,r∈R).
(I)当r=-35时f(x)和g(x)在x=1处有共同的切线,求p、q的值;
(II)已知函数h(x)=f(x)-g(x)在x=1处取得极大值-13,在x=x
1
和x=x
2
(x
1
≠x
2
)处取得极小值h(x
1
)和h(x
2
),若h(x
1
)+h(x
2
)<kln3-10成立,求整数k的最小值.
题型:杭州一模
难度:
|
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已知f(x)=ax
2
(a∈R),g(x)=2lnx.
(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;
(2)是否存在这样的a的值,使得f(x)≥g(x)+2(x∈R
*
)恒成立,若不存在,请说明理由;若存在,求出所有这样的值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
mx
x
2
+n
(m,n∈R)在x=1处取得极值2.
(I)求f(x)的解析式;
(II)设函数g(x)=x
2
-2ax+a,若对于任意的x
1
∈R,总存在x
2
∈[-1,1],使得g(x
2
)≤f(x
1
),求实数a的取值范围.
题型:三亚模拟
难度:
|
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函数f(x)=xsinx+cosx+1(x∈[0,π]的最大值为( )
A.
π
2
+1
B.2
C.1
D.0
题型:安徽模拟
难度:
|
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已知 f(x)=ax-lnx,g(x)=
lnx
x
,其中x∈(0,e](e是自然常数),a∈R
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调性、极值;
(Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下,f(x)>g(x)+
1
2
;
(Ⅲ)是否存在a∈R,使f(x)的最小值是3,若存在求出a的值,若不存在,说明理由.
题型:广东模拟
难度:
|
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