已知函数f(x)=lnx-m(x-1x)(m为实常数)(1)当m=25时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;(2)若函数f(x)无极值点,求m的取值范围
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已知函数f(x)=lnx-m(x-1x)(m为实常数)(1)当m=25时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;(2)若函数f(x)无极值点,求m的取值范围
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=lnx-m(x-
1
x
)(m为实常数)
(1)当m=
2
5
时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;
(2)若函数f(x)无极值点,求m的取值范围.
答案
(1)当m=
2
5
时,f(x)=lnx-
2
5
(x-
1
x
),
令f′(x)=
1
x
-
2
5
(1+
1
x
2
)=-
(2x-1)(x-2)
5
x
2
=0,得x=2或x=
1
2
(舍去),
当x∈(1,2)时,f′(x)>0;当x∈(2,e)时,f′(x)<0,
∴f(x)在(1,2)上递增,在(2,e)上递减,
∴当x=2时,f(x)
max
=f(2)=ln2-
3
5
;
(2)f(x)定义域(0,+∞),
f′(x)=
1
x
-m (1+
1
x
2
)=
-m
x
2
+x-m
x
2
,
由题意,f(x)无极值点,则f(x)在定义域(0,+∞)上单调,分如下情况讨论:
①若f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,则-mx
2
+x-m≥0,即m≤
x
1+
x
2
在(0,+∞)上恒成立,
当x>0时,
x
1+
x
2
=
1
1
x
+x
∈(0,
1
2
],∴m≤0;
②若f′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,则-m
2
+x-m≤0,即m≥
x
1+
x
2
在(0,+∞)上恒成立,
当x>0时,
x
1+
x
2
=
1
1
x
+x
∈(0,
1
2
],∴m≥
1
2
;
综①②,函数f(x)无极值点时,m的取值范围是(-∞,0]∪[
1
2
,+∞).
举一反三
已知函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx 在x=1处有极值为10,则f(2)等于______.
题型:不详
难度:
|
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定义在D上的函数f(x),如果满足;对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a•2
x
+4
x
,g(x)=
1-
2
x
1+
2
x
.
(1)当a=1时,求函数f(x)在(0,+∞)上的值域,并判断函数f(x)在(0,+∞)上是否为有界函数,请说明理由;
(2)求函数g(x)在[0,1]上的上界T的取值范围;
(3)若函数f(x)在(-∞,0]上是以3为上界的函数,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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若函数f(x)=-a(x-x
3
)的递减区间为(
-
3
3
,
3
3
),则a的取值范围是( )
A.a>0
B.-1<a<0
C.a>1
D.0<a<1
题型:不详
难度:
|
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已知
a>0,b∈R,函数f(x)=
1
2
x
2
+alnx-(a+1)x+b
.
(I)求函数f(x)的单调递增区间;
(II)令a=2,若经过点A(3,0)可以作三条不同的直线与曲线y=f(x)相切,求b的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知a,b是正实数,函数f(x)=-
1
3
x
3
+ax
2
+bx在x∈[-1,2]上单调递增,则a+b的取值范围为( )
A.
(0,
5
2
]
B.
[
5
2
,+∞)
C.(0,1)
D.(1,+∞)
题型:不详
难度:
|
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