(Ⅰ)f′(x)=[-]= ∴当2<x<4时,f′(x)<0,当x>4时,f′(x)>0 ∴f(x)在(2,4)上是减函数,在(4,+∞)上是增函数 ∴f(x)在[3,7]上的最大值应在端点处取得,又f(3)-f(7)=[3ln5-ln1]-[ln625-ln729]<0, ∴f(3)<f(7)即当x=7时,f(x)取得在[3,7]上的最大值 (Ⅱ)∵F(x)是单调递增函数,∴F′(x)≥0恒成立 又F′(x)=-=(a-1)x2+5x-4(a+1) | (x-1)(x2-4) |
在f(x)的定义域(2,+∞)上,有(x-1)(x2-4)>0恒成立. ∴F′(x)≥0⇔(a-1)x2+5x-4(a+1)≥0在(2,+∞)上恒成立.…(10分) 下面分情况讨论(a-1)x2+5x-4(a+1)>0在(2,+∞)上恒成立时,a的解的情况. 当a-1<0时,显然不可能有(a-1)x2+5x-4(a+1)≥0在(2,+∞)上恒成立. 当a-1=0时(a-1)x2+5x-4(a+1)=5x-8>0在(2,+∞)上恒成立. 当a-1>0时,又有两种情况:①52+16(a-1)(a+1)≤0; ②-≤2且(a-1)-22+5×2-4(a+1)≥0 由①得16a2+9≤0,无解;由②得a≥-,a-1>0,∴a>1 综上所述各种情况,当a≥1时(a-1)x2+5x-4(a+1)≥0在(2,+∞)上恒成立. ∴所求的a的取值范围为[1,+∞). |