已知函数f(x)=x3-ax2+3ax+1在区间(-2,2)内,既有极大也有极小值,则实数a的取值范围是______.

已知函数f(x)=x3-ax2+3ax+1在区间(-2,2)内,既有极大也有极小值,则实数a的取值范围是______.

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x3-ax2+3ax+1在区间(-2,2)内,既有极大也有极小值,则实数a的取值范围是______.
答案
由函数f(x)=x3-ax2+3ax+1,得f(x)=3x2-2ax+3a.
∵函数f(x)=x3-ax2+3ax+1在区间(-2,2)内,既有极大也有极小值,
∴f(x)=0在(-2,2)内应有两个不同实数根.





f(-2)>0,f(2)>0
-2<
a
3
<2
f(
a
3
)<0
,解得-
12
7
<a<0

∴实数a的取值范围是-
12
7
<a<0

故答案为(-
12
7
,0)
举一反三
已知函数f(x)=lnx-
1
2
ax2
+bx(a>0)且f′(1)=0,
(1)试用含a的式子表示b,并求函数f(x)的单调区间;
(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2)(0<x1<x2)为函数f(x)图象上不同两点,G(x0,y0)为AB的中点,记AB两点连线斜率为K,证明:f′(x0)≠K.
题型:河南模拟难度:| 查看答案
若函数h(x)=2x-
k
x
+
k
3
在(1,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是(  )
A.[-2,+∞)B.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.(-∞,2]
题型:湖南模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=2ax-
b
x
+lnx

(I)若f(x)在x=1,x=
1
2
处取和极值,
①求a、b的值;
②存在x0∈[
1
4
,2]
,使得不等式f(x0)-c≤0成立,求c的最小值;
(II)当b=a时,若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求a的取值范围.(参考数据e2≈7.389,e3≈20.08)
题型:北海模拟难度:| 查看答案
f"(x)是函数f(x)=
1
3
x3-mx2+(m2-1)x+n
的导函数,若函数y=f[f"(x)]在区间[m,m+1]上单调递减,则实数m的取值范围是(  )
A.[-1,0]B.[0,1]C.[-1,1]D.R
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数g(x)=-
a2
3
x3+
a
2
x2+cx(a≠0)

(I)当a=1时,若函数g(x)在区间(-1,1)上是增函数,求实数c的取值范围;
(II)当a≥
1
2
时,(1)求证:对任意的x∈[0,1],g′(x)≤1的充要条件是c≤
3
4

(2)若关于x的实系数方程g′(x)=0有两个实根α,β,求证:|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是-
1
4
≤c≤a2-a
题型:广安二模难度:| 查看答案
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