已知函数f(x)=2ax-bx+lnx.(I)若f(x)在x=1,x=12处取和极值,①求a、b的值;②存在x0∈[14,2],使得不等式f(x0)-c≤0成立

已知函数f(x)=2ax-bx+lnx.(I)若f(x)在x=1,x=12处取和极值,①求a、b的值;②存在x0∈[14,2],使得不等式f(x0)-c≤0成立

题型:北海模拟难度:来源:
已知函数f(x)=2ax-
b
x
+lnx

(I)若f(x)在x=1,x=
1
2
处取和极值,
①求a、b的值;
②存在x0∈[
1
4
,2]
,使得不等式f(x0)-c≤0成立,求c的最小值;
(II)当b=a时,若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求a的取值范围.(参考数据e2≈7.389,e3≈20.08)
答案
(Ⅰ)①∵f(x)=2ax-
b
x
+lnx
,定义域为(0,+∞)
f′(x)=2a+
b
x2
+
1
x

∵f(x)在x=1 ,x=
1
2
处取得极值,
f′(1)=0 , f′(
1
2
)=0






2a+b+1=0
2a+4b+2=0





a=-
1
3
b=-
1
3
,所以所求a,b值均为-
1
3

②在[
1
4
,2]
存在x0,使得不等式f(x0)-c≤0成立,则只需c≥[f(x)]min
f′(x)=-
2
3
-
1
3x2
+
1
x
=-
2x2-3x+1
3x2
=-
(2x-1)(x-1)
3x2

∴当x∈[
1
4
1
2
]
时,f"(x)<0,函数f(x)单调递减;
x∈[
1
2
,1]
时,f"(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈[1,2]时,f"(x)<0,函数f(x)单调递减,
∴f(x)在x=
1
2
处有极小值
f(
1
2
)=
1
3
+ln
1
2
=
1
3
-ln2 ,   f(2)=-
7
6
+ln2

f(
1
2
)-f(2)=
3
2
-ln4=lne
3
2
-ln4

e3-16>0 , ∴  lne
3
2
-ln4>0 ,      ∴  [f(x)]min=f(2)

c≥  [f(x)]min=-
7
6
+ln2

c∈ [-
7
6
+ln2,+∞)

故 cmin=-
7
6
+ln2

(Ⅱ)当 a=b 时,f′(x)=
2ax2+x+a
x2

①当a=0时,f(x)=lnx,则f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当a>0时,∵x>0,∴2ax2+x+a>0,∴f"(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增;
③当a<0时,设g(x)=2ax2+x+a,只需△≤0,从而得a≤-


2
4
,此时f(x)在(0,+∞)上单调递减;
综上可得,a∈(-∞,-


2
4
]∪[0,+∞)
举一反三
f"(x)是函数f(x)=
1
3
x3-mx2+(m2-1)x+n
的导函数,若函数y=f[f"(x)]在区间[m,m+1]上单调递减,则实数m的取值范围是(  )
A.[-1,0]B.[0,1]C.[-1,1]D.R
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数g(x)=-
a2
3
x3+
a
2
x2+cx(a≠0)

(I)当a=1时,若函数g(x)在区间(-1,1)上是增函数,求实数c的取值范围;
(II)当a≥
1
2
时,(1)求证:对任意的x∈[0,1],g′(x)≤1的充要条件是c≤
3
4

(2)若关于x的实系数方程g′(x)=0有两个实根α,β,求证:|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是-
1
4
≤c≤a2-a
题型:广安二模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=(x-k)2e
x
k

(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤
1
e
,求k的取值范围.
题型:北京难度:| 查看答案
若函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则a+b=______.
题型:不详难度:| 查看答案
函数f(x)=
lnx
x
的单调递增区间是______.
题型:不详难度:| 查看答案
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