(I)当a=1时,g(x)=-x3+x2+cx,g"(x)=-x2+x+c, ∵g(x)在(-1,1)上为单调递增函数,∴g"(x)≥0在(-1,1)上恒成立, ∴-x2+x+c≥0在(-1,1)上恒成立,∴-1-1+c≥0,∴c≥2. (II)设g"(x)=f(x),则f(x)=-a2x2+ax+c=-a2(x-)2+c+,此抛物线关于x=对称, 由a≥可得,0<≤1.对任意的x∈[0,1],g′(x)≤1的充要条件是它的最大值c+≤1, 即 c≤. (2)关于x的实系数方程g′(x)=0 即-a2x2+ax+c=0,即 -a2(x-)2+c+=0, ∴g′(x)=0有两个实根α,β,|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是 ,即 ,等价于 ,等价于 -≤ c ≤a2-a. |