已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e)其中e是自然常数,a∈R.(1)讨论a=1时,f(x)的单调性、极值;(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,如
题型:不详难度:来源:
已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e)其中e是自然常数,a∈R. (1)讨论a=1时,f(x)的单调性、极值; (2)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由. |
答案
(1)当a=1时,f(x)=x-lnx, 则f/(x)=1-=(1分) f/(x)=1-=≥0且x∈(0,e)得x∈[1,e)单调递增;(3分) f/(x)=1-=<0且x∈(0,e)得x∈(0,1)单调递减;(5分) 当x=1时取到极大值1;(6分) (2)f/(x)=(7分) ①当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在x∈(0,e)上单调递减f(e)<0,与题意不符;(9分) ②当a>0时,f′(x)=0的根为 当0<<e时,f(x)在x∈(0,)上单调递减,在(,e)上单调递增f(x)min=f()=1-ln=3,解得a=e2(12分) ③当≥e时,f′(x)<0,f(x)在x∈(0,e)上单调递减f(e)<0,与题意不符;(14分) 综上所述a=e2(15分) |
举一反三
已知函数f(x)=(x2-a)ex. (I)若a=3,求f(x)的单调区间; (II)已知x1,x2是f(x)的两个不同的极值点,且|x1+x2|≥|x1x2|,若3f(a)<a3+a2-3a+b恒成立,求实数b的取值范围. |
已知函数f(x)=x2-(a+m)x+alnx,且f′(1)=0,其中a、m∈R. (1)求m的值; (2)求函数f(x)的单调增区间. |
已知函数f(x)=eaxlnx在定义域内是增函数,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=sinx-cosx+x(0<x<2π).求函数f(x)的单调区间及极值. |
已知函数f(x)=. (Ⅰ)若函数在区间(a,a+)(其中a>0)上存在极值,求实数a的取值范围; (Ⅱ)如果当x≥1时,不等式f(x)≥恒成立,求实数k的取值范围; (Ⅲ)求证[(n+1)!]2>(n+1)•en-2(n∈N*). |
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