(Ⅰ)因为f(x)=,x>0,则f′(x)=-, 当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0. 所以f(x)在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减, 所以函数f(x)在x=1处取得极大值. 因为函数f(x)在区间(a,a+)(其中a>0)上存在极值, 所以,解得<a<1. (Ⅱ)不等式f(x)≥, 即为≥k,记g(x)=, 所以g′(x)=[(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+lnx) | x2 | =, 令h(x)=x-lnx,则h′(x)=1-,∵x≥1,∴h′(x)≥0. ∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,∴[h(x)]min=h(1)=1>0, 从而g′(x)>0 故g(x)在[1,+∞)上也单调递增, ∴[g(x)]min=g(1)=2,所以k≤2 (3)由(2)知:f(x)>恒成立, 即lnx≥=1->1-, 令x=n(n+1),则ln[n(n+1)]>1-, 所以ln(1×2)>1-, ln(2×3)>1-,ln(3×4)>1-, ln[n(n+1)]>1-. 叠加得:ln[1×22×32×n2×(n+1)]>n-2[++] =n-2(1-)>n-2+>n-2 则1×22×32×n2×(n+1)>en-2, 所以[(n+1)!]2>(n+1)•en-2(n∈N*) |