已知函数f(x)=eaxlnx在定义域内是增函数,求实数a的取值范围.

已知函数f(x)=eaxlnx在定义域内是增函数,求实数a的取值范围.

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=eaxlnx在定义域内是增函数,求实数a的取值范围.
答案
函数的定义域为(0,+∞).f′(x)=aeaxlnx+eax×
1
x
=eax(alnx+
1
x
). …(2分)
①当a=0时,f(x)=lnx在(0,+∞)上是增函数;       …(3分)
②当a<0时,∵
lim
x→+∞
lnx=+∞
lim
x→+∞
1
x
=0

lim
x→+∞
(alnx+
1
x
)=-∞

又∵eax>0,∴当x→+∞时,f′(x)<0,
与f(x)在(0,+∞)上递增矛盾;…(5分)
③当a>0时,设g(x)=alnx+
1
x
则g′(x)=
a
x
-
1
x2
=
a
x2
(x-
1
a
)

若0<x<
1
a
时,g′(x)<0,x>
1
a
时,g′(x)>0
∴g(x)在x=
1
a
时取得最小值即g(x)的最小值为g(
1
a
)=-alna+a=a(1-lna).       …(8分)
(i)当0<a<e,则g(
1
a
)>0,从而f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(ii)当a=e,则g(
1
a
)=0,其余各点处g(x)>0,从而f′(x)≥0(仅在x=
1
a
时取等号),
故f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(iii)当a>e,则g(
1
a
)<0,从而f′(
1
a
)<0,与f(x)在(0,+∞)上递增矛盾.…(11分)
综上所述,a的取值范围是[0,e].       …(12分)
举一反三
已知函数f(x)=sinx-


3
cosx+x(0<x<2π)
.求函数f(x)的单调区间及极值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
1+lnx
x

(Ⅰ)若函数在区间(a,a+
1
2
)
(其中a>0)上存在极值,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)如果当x≥1时,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)求证[(n+1)!]2>(n+1)•en-2(n∈N*).
题型:上高县模拟难度:| 查看答案
若函数f(x)=ax2+8x-6lnx在点M(1,f(1))处的切线方程为y=b.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)设f(x)的最小值为g(a),证明:-
1
a
<g(a)<0
题型:河南模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=mx3+nx2(m,n∈R,m≠0),函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处切线与x轴平行,
(1)用关于m的代数式表示n;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)若x1>2,记函数y=f(x)的图象在点M(x1,f(x1))处的切线l与x轴的交点为(x2,0),证明:x2≥3.
题型:海淀区二模难度:| 查看答案
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