已知a是实数，函数f（x）=x2（x-a）（1）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）a＞0，求f（x）的单调增区
题型：不详难度：来源：
已知a是实数，函数f（x）=x2（x-a）
（1）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）a＞0，求f（x）的单调增区间． |
答案
（1）f′（x）=3x2-2ax，
因为f′（1）=3-2a=3，所以a=0．
又当a=0时，f（1）=1，f′（1）=3，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x-y-2=0…（6分）
（2）令f′（x）=0，解得x1=0，x2=，＞0，
所以由f′（x）＞0，解得x＞，或x＜0，
即f（x）在（-∞，0），(a，+∞)上单调递增…（6分） |
举一反三
已知函数f（x）=x3+ax2+bx-1在x=1处有极值-1．
（ I）求实数a，b的值；
（ II）求函数g（x）=ax+lnx的单调区间． |
某同学在研究函数f（x）=x2ex的性质时，得到如下的结论：
①f（x）的单调递减区间是（-2，0）；
②f（x）无最小值，无最大值
③f（x）的图象与它在（0，0）处切线有两个交点
④f（x）的图象与直线x-y+2012=0有两个交点
其中正确结论的序号是______． |
已知函数g(x)=px--2lnx
（1）g（x）在其定义域内的单调函数，求p的取值范围；
（2）求证：lnx≤x-1（x＞0）
（3）求证：++…+＜[(n-1)-(++…)]（n∈N*，n≥2） |
已知函数f（x）=ax-1n（1+x2）
（1）当a=时，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值；
（2）证明：当x＞0时，1n（1+x2）＜x；
（3）证明：(1+)(1+)…(1+)＜e(n∈N*，n≥2，其中e为自然对数的底数） |
设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x3．
（Ⅰ） 若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ） 是否存在正整数a，使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． |
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